Mit érthetek rajta?
„Az algebrában a szám csak eszköz,
annak lényege (szubsztanciája) a művelet.”
From:
Fáy Árpád <arpad.fay@gmail.com
Sent: Saturday, January 04, 2020 2:01 AM
Subject: RE: BUÉK +...
Kedves Antal!
„Az algebrában a szám csak eszköz, annak lényege (szubsztanciája) a művelet.”
Ez a mondat tűnt fel nekem leveledben.
Próbálom értelmezni a sárgával kiemelt megállapításokat.
Amit csak éreztem magam is 40 éve, de nem tudtam szabatosan megfogalmazni (lásd kék háttérrel ide másolt 1978-as fogalmazásomat), azzal érzem, hogy szembesít ez a mondatod: „Az algebrában a szám csak eszköz, annak lényege (szubsztanciája) a művelet.”
Olyan világba kalauzol minket ez a mondat, ami végre átgondolhatónak, érdekesnek, fontosnak, lényeginek, aktuálisnak tűnik.
Ma már valahogy úgy fogalmaznék hajdani hiányérzetemnek is hangot adva, hogy a művelet az axiomatikában az axiómákra építkezés szabálya, módja.
Tehát nincsen használható axiomatika (műveleti eszköztár) jól, szerencsésen megválasztott (sok nemzedék által kiérlelődött vagy éppen a modern korban tudatosan megjelölt, megformált, átrendezett és így rögzített) axiómák („nem levezetett” közös „alapképzetek”) nélkül.
Általánosságban.
De menjünk tovább, pontosítsunk.
A művelet (pontosabban a származtatott művelet: az összeadásból származtatható kivonás, szorzás, osztás stb-k) tehát az egyik lényeg.
Az alapműveletek (mint az összeadás) viszont szintén axiómaként kezelhetők, akárcsak a pont, az egy stb fogalmak.
Azaz vannak alapfogalmak és alapműveletek (és a kör bővíthető megközelítéstől függően alapelvekkel stb), amelyekre az axiomatika felépül és eredményezi a származtatott műveleteket, fogalmakat, tételeket.
A ponttal és az eggyel szemben az összeadásnak talán nincsen lényegi elsőbbsége. Viszont a mai tanácstalanságot látva talán igenis hangsúlyozni kell a műveletek mibenlétét. Méghozzá nem önmagában az elvégzett műveletnek, hanem a megértett, tudatosan alkalmazott, a logikájában ismert, értett műveletnek lehet kiemelendő fontossága, elsőbbsége.
40 évvel ezelőtti fogalmazásomban azt kerülgettem éppen, hogy a mechanikusan alkalmazott műveletnek, algoritmusnak kevés köze van a tulajdonképpeni matematikához. Mert mi is az a művelet? A matematika kizárólagos eszköze? Tehát kizárólag a matematika eszköze? Nem éppen, hanem a művelet általában vett gondolati lépés. Minden művelet nem formalizálható, mert az asszociáció, a megérzéshez, a ráérzéshez vezető spontán gondolati lépés is nevezhető műveletnek. Azonban lehet tipizálni, kiemelni egyes gondolati művelet típusokat. Ebben azonban még benne van az ezotéria, a misztika és a hétköznapi spontán rutinok is (a gondolati megszokások).
Tovább lépve azonban (az ógörögök és Arisztotelesz nyomán) ki lehet emelni egyes logikai alapműveleteket, amelyeknek már elfogadott formalizmusa, törvényszerűségei állapíthatók meg. Ez a folyamat (az általában vehető gondolati műveleteken belül) a kétértékű logika elhatárolásával, majd annak alapján az axiomatikával jellemezhető, mint egy fejlődési fázis kezdő és befejező állomásával. Befejező állomás azon „ógörög” szakaszban azért az axiomatika megjelenése, mert a következő szakaszban már az axiomatika a kiindulás a maga vértezetében, és a kétértékű logika kiválasztása már csak történeti érdekesség a múltból, nem pedig aktuális dilemma.
Logikai sémát követve juthatunk el a matematikához, a matematika mibenlétének definiálásához. Innen közelítve a matematika nem más mint azoknak a gondolati műveleteknek a köre, amelyek formalizálhatók, algoritmizálhatók.
Mából visszatekintve még szűkíthetjük a kört, a deduktív axiomatikán belüli formalizált műveletek köre a matematika. Nem tudom e formalizálást hogyan lehetne-kellene mint meghatározást tovább pontosítani.
Visszafelé azonban egyértelmű, hogy a matematika kizárólag és egyértelműen formalizált gondolati műveletek körének tekinthető.
Időrendben ugyan az úgynevezett formalizált logika csak a legutóbbi időkben, alig több mint 100 éve született meg - az úgynevezett formalizált logika rendszere (szimbólumai és összefüggései elfogadása), azonban lényegét tekintve nem sokban különbözik a matematikától. Ha a formalizált logikát nem tekintjük a matematikába tartozónak, akkor éppen a matematika tekinthető a formalizált logika egy alrendszerének – az általános logikai összefüggések tovább konkretizálásával.
„Az algebrában a szám csak eszköz, annak lényege (szubsztanciája) a művelet.”
Talán éppen azzal lehet elkülöníteni a matematikát (azon belül is az algebrát) a logika világán belül, hogy a logikai összefüggéseket számszerűsíti (legalább a közelítés erejéig). Leszűkíti a logikai műveletek körét a matematikában (algebrában) azokra, amelyekben a számok alkalmazása is kézen fekvő, megoldható, megoldott.
Az axiomatika alapvető összefüggéseiben adódik a deduktív és induktív axiomatika megkülönböztetendősége – mindössze párszáz éve.
Antal megjegyzésének értelmezési kísérlete a deduktív axiomatikára vonatkozik, amely mintegy inputja a további specializációnak, a konkrét tartalom nélküli számok mennyiségekhez kacsolásában (az induktív axiomatikának). A jelen vizsgálódásból ez már kivezetne.
„A VÉGTELEN viszont nem szám”
Jó olvasni ezt az elhatárolást, amely azt hiszem az átlagos egyetemi tananyagban ma sem szerepel. A végtelen mivel nem szám, nem része a számrendszernek – hanem mintegy annak határfelületét jelző segédfogalom. Ebből következően óvatosan kell bánni a végtelennek a matematikai műveleteket leíró képletekben való szerepeltetésével. Egy „n” szám tarthat a végtelenhez (végtelen nagyhoz, végtelen kicsihez), végtelenül közelíthet egy konkrét számot, de nem helyettesíthető be egy matematikai képlet paramétereinek helyére mint konkrét szám.
Jó lenne ezt tovább is gondolni.
„A metafizikai EGÉSZnek a végtelen elemű számhalmaz lehet a matematikai megfelelője, de semmiképp nem azonos vele.”
Mit jelent a „megfelelőség”?
Gondolkodunk a valóságról, de gondolataink nem a valóság megismétlését jelentik. Tehát gondolataink afféle vetületet jelentenek. Akár a meglévő valóságról alkotunk vetületet, akár a potenciális, megvalósítandó, általunk befolyásolandó valóságról.
A metafizikai egésznek (a világmindenségnek) csak igen felületes vetületét tudjuk megalkotni. Az egészet nem tudjuk leképezni, legfeljebb csak elgondolni. Még inkább csak megjelölni, hogy tudomásul vesszük a lehetőségét, beszélhetünk róla, de nem ismerhetjük meg. Mintha nem is annyira a világmindenséget tudnánk fogalmilag megjelölni, hanem a világmindenség közölhetetlenségének tudomásul vételét.
Tehát azt hiszem, hogy amiképpen a végtelen fogalma nem tekinthető számnak, úgy ez amegállapítás visszafelé is érvényesnek tekinthető. Az akár végtelen számhalmaz tekinthető a világmindenség, a metafizikai egész részének, de nem tekinthető vele azonosnak még vetületként sem. Bár sok mindent megfeleltethetünk egymásnak gondolatban, csak a megfelelő óvatlansággal csökkenhet gondolataink értelmi ereje ….. Tehát nem tehetünk meg gondolatban bármit ….
Arisztotelesz fogalmi sablonja jól kifejezi a közölhetetlenségről való beszéd problémájának kezelési kísérletét az oksági láncolat megfogalmazásában. Van az aktuális oksági viszony. Ennek előzményeit vizsgálandó visszafelé elmehetek akármeddig, ameddig reálisan érdemes, ameddig lehetőségünkben áll. Ekkor eljutunk az elégséges okig, amely természetére nézve pont olyan ok, mint ami az aktuális változásokban munkál, csak az oksági láncolat valamely korábbi, de a maga idejében ugyanúgy aktuálisan érvényesülő ok volt és ráadásul számunkra még érdemben tárgyalhatónak, tárgyalásra érdemesnek is tűnik.
Ellenben a végső ok csak pedagógiai cél érdekében hasonló kifejezés, mert a végső ok a tartalmát, jelentését tekintve nem ok. Az csak lehetővé teszi, hogy fogalmilag beszéljünk arról, hogy (pont a szó szerinti értelmezhetőséggel szemen) számunkra elvileg bejárhatatlan, megérthetetlen, felfoghatatlan, valami ami elvi vizsgálódási körünkön kívül esik. Jobb híján nem azt mondjuk rá, ahogy „nem-ok”, hogy „nekünk felfoghatatlan”, hogy „fogalmunk sincsen róla - de nem is lehetne”, hanem az egyszerűbben hangzó (de etimologizálva nagyon is félreérthető) „végső ok” elnevezést alkalmazzuk.
Több mint kétezer évvel később (talán lehet mondani) a végső ok helyébe itt-ott a végtelen fogalma lépett. Ami a fogalomhasználat változását illeti azt gondolom adott helyzetekben helyes lehet a párhuzam a végső ok és a végtelen fogalma között.
Ha a matematikai végtelen fogalmát a végső okhoz közelítem illetve a világmindenséget jelentő metafizikai egészhez, akkor a számhalmaz nem lehet annak a megjelenítője.
Mintha megismétlődne az a logikai bukfenc, ami az ősrobbanás modellezésével történt. Az ősrobbanásról mint a világ (világmindenség!) keletkezéséről lehetett olvasni. Egészen addig, amíg el nem kezdiek értekezni az ősrobbanás előtt időről, ősrobbanásokról szerte az univerzumban, ősrobbanások és fekete lyukak összefüggéséről stb-stb.
Holott ott kínálkozik a hajdani szemléleti alap elfogadása, hogy a világmindenségről, a metafizikai egészről beszélhetünk mintegy mentálhigiénés illetve gondolkodáshigiénés, logikahigiénés segédismeretlenről, segédfogalomról, fogalmi segédeszközről – de nem mint egy lemodellezhető valamiről, mert akkor úgy járunk mint a világ kezdetét jelentő ősrobbanásról ami előtt nem a semmi volt …. (?) …. akkor pedig nem a világmindenséget és annak „keletkezését” modelleztük, hanem a világmindenség fogalmát, a metafizikai teljesség, egész fogalmát erodáltuk. Mint amikor a tankönyvvel fiatalok a billegő bútort támasztják alá.
Tehát talán a végtelen elemű számhalmaz sok esetben megfeleltethető a metafizikai egésszel, a világmindenséggel – de csak akkor ha nem a lényeget vizslatjuk. Mert akkor nem. Mert akkor a lényeg megkerülése lenne (mint volt átmenetileg az ősrobbanás modellje).
FÁ
a valóban lényeges,
alapvető ismeretek helyett
csupán az azokból levont konzekvenciákat oktatják
Fáy Árpád: Fizikaoktatás műszaki főiskolákon (hátsó borító) - Fizikai Szemle 1979/8. 29. évf. 8. sz. - 1979. augusztus
Nemrég került a kezembe a Fizikai Szemle '78/10-es száma. Ennek hátoldalán olvastam egy felhívást a fizikaoktatással kapcsolatos észrevételek megírására.
Villamosipari főiskolát végeztem, és az ott szerzett élményeim alapján a következőket szeretném elmondani.
A szemléletes modelleknek fontos szerepük van a tanulásban, azonban kellő elővigyázatossággal kell őket kezelni. Pl. az a megfogalmazás, amely a feszültséghez viszonyítva az áram késéséről, illetve sietéséről beszél váltakozóáramú hálózaton, szemléletes, mert az idődiagrammon a szinusgörbék csúcsai valóban nem mindig vannak 'szinkronban'. Ennél többet azonban nem jelent a 'siet' és 'késik' kifejezés. Baj van, amint a fizikai tartalomra kerül a sor. Végzős főiskolások sem tudnák világosan elmagyarázni, hogy pontosan milyen folyamat megy végbe, ha az áram-csúcs megelőzi a feszültség csúcsot [v. fordítva]. Viszont azt fel tudják sorolni, hogy mikor, milyen áramköri elem használata esetén következik be ez a jelenség, mert memorizálták, „bemagolták", szerintem felesleges erőfeszítéssel. A kapacitások és induktivitások sokszor és sokat előfordulnak, sok nehézséget okoznak.
Azt hiszem, hogy még a főiskolai 3. évben sem ártana elismételni, hogy a villamos feszültség és villamos töltés egymást feltételező fogalmak (a villamos áram csupán a villamos töltések áramlása). Ha tehát a feszültség és áram fázisviszonyának fizikai tartalmát akarom megvilágítani, akkor feszültséget és abszolút töltésmennyiséget, feszültség különbséget és relatív töltésmennyiséget; avagy a töltésmennyiség változását a feszültségváltozás függvényében kellene vizsgálnom először, hogy aztán a félreértés legkisebb lehetősége nélkül beszélhessek a feszültség és az áram fázisviszonyáról. Mindezt egyszer ugyan elmagyarázzák, de csak egyszer. Később sohasem hivatkoznak rá, amikor a 'késés' és 'sietés' fogalmakat kellene egy-egy konkrét esetben nagy biztonsággal kezelni. Végül is a 'késés' és 'sietés' kifejezéssel egy differenciálási műveletet jelölök (pl. ic = du/dt), amelynek a tartalma egy közvetett fizikai összefüggés. Így talán természetesebbnek, kevésbé misztikusnak tűnhet az a jelenség, hogy az áram és az őt 'létrehozó' feszültség nincsenek mindig 'fázisban'.
Most egy kiragadott példát hoztam fel, amelyhez számtalan hasonlót lehetne elmondani. A lényeg, hogy a sokszor hangoztatott fizikai tartalmat a fizikaoktatásban körültekintőbben kellene megmutatni óráról órára az éppen tárgyalt anyagban. Azt hiszem általános jelenség a tudományban nagyon régen kialakult, jól elhatárolt fogalomkörök, tudományterületek szükségtelen egybemosása az oktatásban.
Pl. matematikában a matematikai logika és a számítási algoritmus megkülönböztetésének hiánya nemzedékekkel utáltathatja meg a matematikát. Az integrálszámítás oktatásában örökké az egyre kisebb szakaszokra való felbontás technikáját magyarázzák, holott azt kéne gyakorolni, hogy milyen természetű feladatok megoldására lehet alkalmas ez a számítási módszer. Az örökösen túlzásba vitt számolás, számítási technika elvonja a figyelmet a lényegről, és akadályává válhat a tanulásnak, a matematika megértésének. Lényegében két külön tantárggyá lehetne szétválasztani a számítástant és a matematikát. --<<az oktatásban a számítás az elméletnek, a megértésnek a kontrollja. Az elméletet fizikában az induktív tények felülírhatják, de az kutatási fázis. Ami ugyan mindenkinek szabad pálya, de a tanterv szerinti rutin foglalkozás nem alkalmas a kutatás szimulálására, mert a tágabb ismeretelméleti, lételméleti összefüggések ismeretlenek maradnak (azaz a tágabb ismeretelméleti, lételméleti összefüggések elhanyagolása esetén az induktív tények abszolutizálása értelmetlenséghez vezet, tudati torzuláshoz.). És robottá alakul egy értelmetlen relativitási reflex miatt a tanulás is meg az utána következő munka is. -FÁ, 2015-ben--
Másik példa. Másfél éven át tanulunk villamos gépeket, és hozzátehetném, hogy feleslegesen. A kudarc a vizsgaeredményekben is tükröződött. Itt sem volt szétválasztva a villamos gép elve, fizikai alapja a szerkezeti kialakítástól, a konkrét számításoktól. Sőt. Állandóan sin-t és cos-t magoltunk, különféle görög betűk garmadáját anélkül, hogy tisztáztuk volna, hogy pl. a forgó villamos gépeknél álló és forgórész között kizárólag mágneses úton valósul meg az erőátvitel. Magában az erőátvitelben villamos mennyiség nem szerepel. Csupán a mágneses erőterek létrehozását valósítom meg villamos úton — de ez technológiai kérdés.
Furcsa: dolog, hogy a túlterheléstől való féltés ürügyén a valóban lényeges, alapvető ismeretek helyett csupán az azokból levont konzekvenciákat oktatják mint egyszerűbb, jobban megérthető, kisebb intelligenciát kívánó ismereteket, amelyeknek ,,közvetlen kapcsolata van a mindennapi tapasztalattal". Holott éppen az ilyen anyagot a legnehezebb megérteni az alapvető összefüggések hiányában,
És hadd térjek vissza a legfontosabbra, A matematika nem egyszerűen számítástechnika — ezt talán a modern, gépesített számítástechnika napjainkban mind egyértelműbbé teszi. És ugyanígy a fizika sem kizárólag a fizikai jelenségek egzakt leírására, számítására alkalmazott számítástechnika, hanem elsősorban elmélet - amely határos a filozófiával, amelynek a kísérlet valamint az alkalmazás, a technika a próbaköve — de csak próbaköve!
Ha hozzászólásomat hasznosítani tudnák, annak igazán örülnék.
A Fizikai Szemle szerkesztő bizottsága az 1972. évben meghirdetett Vélemények sorozatát az olvasók kérésére tovább folytatja ez évben is A szerkesztő bizottság állásfoglalása alapja, „a Fizikai Szemle feladatául vállalja el, hogy teret nyit a fizikai kutatás és a fizika oktatására vonatkozó véleményeknek, ha azok értékes gondolatokat tartalmaznak és építőszándékúak, függetlenül attól, hogy egyeznek-e a lap szerkesztőinek nézetévei, vagy sem". Ennek szellemében várjuk továbbra is olvasóinknak, várjuk a magyar fizikusoknak leveleit.
A szerkesztésért felel: Turiné Frank Zsuzsa
Szerkesztőség; Budapest V., Anker köz 1, Eötvös Loránd Fizikai Társulat. Távbeszélő- 227-040
A kiadásért felelős: Siklósi Norbert igazgató
Kiadja a Lapkiadó Vállalat, Budapest VII., Lenin körút 9-11. Levél5ini: 1906; postafiók 223. Távbeszélő: 281-293
Terjeszti a Magyar Posta. Előfizethető bármely postahivatalnál, a kézbesítőknél, a Posta hírlapüzleteiben és a Posta Központi Hírlap Irodánál
közvetlenül vagy postautalványon, valamint átutalással a KHI 815-96162 pénzforgalmi jelzőszámlára
Előfizetés egy évre 144,-Ft; egyes szám ára 12,-Ft. Megjelenik havonta
79.7084 Akadémiai Nyomda, Budapest V., Gerlóczy utca 2. — Felelős vezető: Bernát György
Index: 25.289
HU ISSN 0015—3257 j
-----Original Message-----
Sent: Friday, January 03, 2020 10:06 AM
Subject: Re: BUÉK +...
Kedves András!
Leveledben az egészből és az abszolútból indulsz ki, melyen keresztül veted fel a nagy, a kicsi, a végtelen, valamint a mérték fogalmait.
Gondolataid láncolata a metafizikától a matematikáig terjed. Én most ez utóbbiból indulok ki, sőt annak egy részterületéből, az algebrából. Az algebrában a szám csak eszköz, annak lényege (szubsztanciája) a művelet.
Ezek a műveletek alkotják meg a számok valós halmazát. A két alapművelet az összeadás, annak inverzével a kivonással együtt és a szorzás, szintén beleértve annak inverzét az osztást. A szorzás műveletének identitás eleme az EGY, bármit szorozhatsz meg vele, annak értéke nem változik meg. Az összeadás műveletének identitáseleme a NULLA, add hozzá bármihez és az érték ugyanaz marad. A két művelet kombinálásával építheted fel a racionálisnak nevezett számokat. Ha a két alapművelet mellett további műveleteket is bevezetünk (hatványozás, illetve annak különböző formái:
gyökvonás, exponens, logaritmikus) eljuthatunk az irracionális és komplex számok halmazáig.
De most maradjuk a két alapműveletnél. A nagy és a kicsi az EGYhez való viszonyt fejezi ki, ezt nevezhetjük MÉRTÉKnek is. A VÉGTELEN viszont nem
szám: ez csupán a számvilág törvénye: azt mondja meg, hogy bármekkora számot is vegyünk, ha ehhez hozzáadjuk az egységet, akkor az nagyobb lesz.
A végtelen nagy ikertestvére a végtelen kicsi, ami a nagy szám reciprokét (az EGYséggel való összehasonlítást) jelenti. Válassz bármilyen kis számot, annál is létezik még kisebb. A végtelenül kicsi is a számok törvényét fejezi ki, ami nem lehet soha sem NULLA, mert a nulla is szám, az összeadás identitás eleme. A matematika azonban kiterjeszti az osztás műveletét a végtelenül kis számokra is, ez a differenciálás, de végtelenszer össze is adja őket, ez az integrálszámítás.
De megjelenik-e az algebrában az EGÉSZ fogalma is? (itt most ne az egész számokra, hanem az egész metafizikájára gondoljunk). A metafizikai EGÉSZnek a végtelen elemű számhalmaz lehet a matematikai megfelelője, de semmiképp nem azonos vele. Világunkban nem lehet mindent a matematika nyelvén megfogalmazni!
Barátsággal
Antal
Kedves Antal! és Levente!
Valamikor ugy harminc évvel ezelőtt tudatosult számomra az Egész és az Abszolút fogalma. Ami benne a legmeglepőbb volt, hogy hirtelen MEGFORDULT az addigi tudatomban, a kicsi és a nagy képzete, pontosan fordítottja lett annak, amit addig képzeltem vagy ahogyan érzékeltem. Pontosabban fogalmazva helyére került a végtelen, és helyére került, az a végtelenhez viszonyított kicsi, és nagy, vagyis a mérték fogalma. Ettől kezdve mindent a semmihez, a határtalanhoz a mindenhez matematikailag kifejezve a zéróhoz a nullához viszonyítottam, mint a legnagyobbhoz, és a számsor számomra mennél több számot adott ki, annál kisebbnek tűnt, hiszen a számok az Egésznek csak egy kis darabkáját fejezték ki számomra, és ugyanezt látom most is a fizikai univerzumnál, hiszen a teremtett világ, csak egy kis darabkája az Egésznek.....az összes térrel energiával anyaggal és idővel együtt.
BUEK....András
(időpont: 2020. jan. 2., Cs, 9:21):
Kedves Levente!
Valóban az egész elérése maga a lehetetlen. A végtelen is az elérhetetlenséget fogalmazza meg. Csak az lehet a kérdés, hogy az analógiát tekinthetjük-e azonosságnak.
Antal
Kedves Antal!
A "végtelent" óhajtom az új évben, mert az Egésznek mint
abszolútnak a fogalmával azonosítom.
Végtelen Újévet kívánok!
Levente
2020.01.01. 12:12 keltezéssel, Fáy Árpád írta:
Kedves Antal!
Újévi küldeményeddel meglepő dolgokat vetettél fel. A fény lassulása stb.
A legérdekesebb számomra a befejező bekezdés: " A végtelenről beszélni csupán extrapoláció: feltételezés, hogy bármilyen messzire is jussunk, még az után is van valami. Mi születünk, élünk és meghalunk, de ez vonatkozik minden földi élőlényre, az emberiség létére, sőt magára a Földre is. Erre alapozzuk a végesség fogalmát, és ezt keressük az univerzum sorsában is. Viszont minden extrapoláció veszélyes, hiányzik belőle a bizonyíthatóság kritériuma. Így bármit is gondoljunk az univerzum sorsáról, nem juthatunk túl egy bizonyos határon, nyitott kérdések mindig maradni fognak."
Boldog újévet FÁ