Görbült terek geometriájának

paradigmatikus és axiomatikus feltételei

Úgy vélem komolytalan leveleket kaptam, amelyeket megpróbáltam komolyan venni - > mintha összezártak volna régen lappangó gondolatokat - FÁ

From: Fáy Árpád <arpad.fay@gmail.com>  - Sent: Sunday, May 24, 2020 4:35 AM - Subject: RE: [Fil.Társ.] együttható... - egyelőre sehol ..... de egy Sicc-trükköt szóvá lehet tenni ... csak viszonylag röviden

Kedves István!

Megpróbálok a témakörhöz viszonyítva tömör rövidséggel reagálni.

Érdekes a rövid összefoglalód, rávilágít néhány dologra.

Érdekes és többségében ismerős, kivéve hogy Bolyainak a gravitációról is voltak feltevései. Hallottam rá utalásokat, meg hogy Einstein Bolyai iratok csempészetére állt rá, de most vált vlahogy kézzel foghatóbbá a leveled alapján. Tehát Bolyai nem tisztán geometriai problémákkal foglalkozott. Na ez hiányzik (legalábbis az én koromban hiányzott) az iskolai tananyagból, hogy a matematikai és fizikai teóriák melyik korban mennyire keveredtek illetve váltak önállókká, mennyire inspirálták egymást vagy éppen mennyire képeztek teljesen külön világot.

Ha igaz Einsteinnek volt egy mondása, miszerint kétségbe vonja az euklideszi egyenes elgondolhatóságát is, mert mutassanak neki bármit, ami azt megvalósítja. Igaz vagy nem azt nem tudom, hogy ő ezt mondta-e, de jól jellemzi az induktív axiomatikus gondolkodás (mondjuk így) „elfajulását”. Erre Szász Gábor axiomatikáról szóló kis könyvében azt mondja, hogy ha mindig a mértani rajzok kétségtelen tényeire hagyatkoznánk, akkor elvesztenénk az elvi matematikát, mértant (geometriát), mert egy határon túl minden rajz pontatlan, csak nagyítás kérdése, hogy hibát találjunk benne. Nincsenek kétségtelenül és nagyítástól függetlenül pontos rajzok az induktív axiomatika világában. Az érdekes, hogy mérnök, egyetemi tanár bárki lehet ennek alapulvétele nélkül.

Mi derül ki számomra ismertetésedből?

Először is hogy az általam keresett képlet nincsen benne.

Másodszor felmerül bennem egy kiállítás emléke valahol a volt nehézipari minisztérium mögött Budán az első Orbán kormány idején (valami csodák ….). Ott a lovas szekér mellett kiállítottak néhány matematikai ábrát is. Nem foglalkoztak azzal, hogy érthetetlen legyen, hanem „elárulták”, hogy a gömbi geometria például egy gömb felszínén szemléltethető. Nem ezért mentem oda, csak halványan maradt meg bennem, hogy íme a nagy titkok ilyen egyszerűek. A kalózok is évezredeken keresztül ismerték a tengeri térképek nagy távolságon tapasztalható torzításait és tudták kezelni. Érdekes volna egyszer végre egy olyan ismertetéssel találkozni, amely végre nem a párhuzamosok titokzatos példájából magyarázza görbült geometriát, mert az úgy önmagában hamis, téves, logikai bukfenc, ne ámítsuk magunkat. A párhuzamosok egyenesek képzetével társulnak, amikből egy ponton át egy párhuzamos húzható volt régen, ma is, jövőben is. Nem kellene a kábításra hajtani, mert az cirkuszi feladat.

De ha már Kuhn szóba került és ritkábban Gödl, akkor nyomába eredhetünk a problémának. Tehát Euklidesz munkája is a maga korának paradigmatikus foglalatában volt értelmezhető. Ez a praradigmatikus foglalat idővel változott. Nem az euklideszi tételek, hanem a foglalat, amikkel a tételek együtt értelmezhetők. Ilyen paradigmatikus feltétel, hogy sík asztallapra tett papírra rajzolunk. Nem egy labda felszínére mint a híres focisták amikor autogrammot adnak, nem is egy nyereg kápájára, ami akár Bolyaira is hathatott vagy egy nagy trombita szépen görbült tölcsérének felszínére. Olyan ez, mint amikor a vásári hazárdjátékos meglöki az asztalt hogy veszítsen a tapasztalatlan próbálkozó. Vagy amikor a rulettasztal egyes számainak gödrébe levegőt pumpálnak, hogy oda golyó ne menjen. Csak ott utána borítják az asztalt és nem professzori címeket osztogatnak a dörzsölt krupiéknak.

A görögök idejében az ultima ráció a józan ész volt. Nem kábítani kellene az embereket, hanem elárulni nekik a megoldásokat, és érthetővé lesznek a paradoxonok. Például, hogy az egyenes visszatér önmagába. Egy labda felületén. És nem csodálkozik senki. A megfelelően rövid szakaszon vizsgált párhuzamosnak tűnő egyenesek egy távoli pontban találkoznak egymással … igen, ha egy gömb pólusain áthaladó felszíni körökről van szó. Egyáltalán mintha ezekbe a rejtélyes tételekre az infinitezimálszámításos észjárás is hatással lenne. Vagy nem? Mert időben pont úgy következtek egymás után.

Azt írod: „minden egyeneshez tartozik egyetlen végtelen távoli pont, és akár jobbra, akár balra haladunk az egyenes mentén, ugyanahhoz a végtelen távoli ponthoz érkezhetünk”. Azt hiszem ez egy tipikus kijelentés arra, hogy tessék felfedni a kártyákat, különben nem fog stimmelni (mert mégsem parancsra hiszünk el ilyesmit).

A klasszikus arisztoteleszinek mondható fogalmi sablonban az elégséges ok és a végső ok evidens módon két külön természetű fogalom. Az elégséges ok olyan ok, ami elégséges a megértéshez, a jelenség feltárásához és még meg is ismerhető. A végső ok ellenben egy a megismerhető elégséges okra hajazó metafora, ami elvileg nem ismerhető meg, éppen csak önkényesen hasonlít a kifejezés az elégséges okra. Egy határfogalom tehát, ami éppen a megismerhetetlenséget fejezi ki. Ami ennélfogva nem egy feltárható ok, sőt lényegében nem is ok, hiszen a fogalmi sablon az okot Arisztotelesznél a forma és anyag valamilyen együtteséhez rendeli, a végső oknál viszont definiálja, hogy ott a forma és anyag még nem keveredett.

Játszunk a végtelen fogalmával mindenütt manapság, de vajon ez a fogalmi különbség felszámolódott-e vagy megfeledkeztünk róla? Tehát a végtelen egy számnak tekinthető vagy nem? Műveleteket végzünk vele, minősítgetjük, hogy ilyen meg olyan végtelen, de ettől függetlenül a véges számok világának határfogalma, kívül esik a számok halmazán. Viszont következtetésekben szerepeltetjük. Deriválási művelettel kezelhetőnek tekintjük. Tehát a deriválási művelet a klasszikus matematikán túlterjeszkedik absztrakcióival? Ezt néven kellene nevezni, különben komédiává válik görbe-üres tér geometriájával való produkció.

Úgyhogy maradjunk abban, hogy az a távoli pont, amelyhez mint mondod minden egyenes mentén el lehet jutni, nem része az egyenesnek. Az a távoli pont a végtelen egy változata, a végső ok hajdani fogalmának egy kiterjesztése, variációja. Olyan ez, mint amikor nagyapának és unokájának ugyanaz a neve. Attól az élményeik világa (a „tartalmuk”) más lesz.

Tehát pontosítani, magyarázni kellene, mert különben tekintéllyel préselt értelmetlenség veszélye fenyeget.

Megint, hogy azt írod: „Ha egy síkra ráfektetünk két egyenest, akkor azok mindig metszik egymást. A párhuzamos egyenesek is, de a metszéspontjuk – elvileg – a végtelenben van.” Attól függ természetesen, hogy milyen kiegészítő megállapításokat, kikötéseket kapcsolsz a tételhez, mert alapesetben (nem a tudatlan, hanem az európai évezredesfogalmi hagyományok paradigmatikus világában élő, józanul gondolkodó ember számára) ez egy önellentmondás, ami megbocsátható bizonyos életkor alatt. De afelett nem egyszerűen indokolni kell, hanem megfelelően kiegészíteni. Például azzal, hogy nem kell felháborodni, mert az a végtelen kívül esik a párhuzamosok „valódiságán” és csupán ízlés dolga, hogy mit mondunk arra, mi lesz a végtelenben: találkoznak egymással vagy sem, egy pontban vagy egy pacában találkoznak stb. Ki kell mászkálódni végre a komenista munkaláger falanszterikus gondolati kényszerzubbonyából és el kell kezdeni cseverészni …. a végső józanságnak fenntartva a lehetőségét, szerepét. És nem bevonulva a másik munkalágerba vagy Pinocchió mesevárosának dekorált munkalágerába. El kell árulni nem is a titkokat, hanem a paradigmának keresztelt paraván mögé rejtett evidenciákat.

„Ha egy síkra ráfektetünk sokféle irányú egyeneseket, ezek végtelen távoli pontjai kirajzolnak egyetlen végtelen távoli egyenest.” Lehet ilyenek mondani, de ez egyfajta kódolt beszéd, aminek a kódját nem mindenkivel közlik és ha valakinek nem megy a dekódolás, akkor a modern kód-dekód kasztrendszer dekódolatlansági bugyrába szelektálva találja magát. Nem mindenki örül ennek. Egyes mérnöki végzettségükre rátartiak ilyenkor (mint dekódolatlanságukat röstellők) elkezdik az ezoterikus sablonokat hangoztatni, hogy ki mennyi műszaki mérésen vett részt stb. A dekódolatlanságot be kell látni, nem eltakargatni, mert csak akkor van kiút.

„Ez azt jelenti, hogy minden síkhoz tartozik egyetlen végtelen távoli egyenes.” Nem, nem azt jelenti, hanem azt jelentheti! A paradigmatikus (tehát megnevezetlen, elhallgatott, elhanyagolt) feltételektől függően. Az a távoli egyenes ugyanis a klasszikus fogalmi sablon szerint lényegében nem egyenes, hanem valami, ami elérhetetlen, de hogy ne érezzük magunkat bizonytalanságban, adjunk neki nevet, az elérhetőség illúzióját keltő metaforaként. Lehetne lyukas rozsdás fazék is, vagy elhasznált zokni, de mennyivel elegánsabb egy geometriai tárgyú fejtegetésben végtelen távoli egyenesnek nevezni. Sokkal kevésbé feltűnő. Azonban tévképzetekhez is vezethet a sok azonos alakú kifejezés, amik forgatagában előbb-utóbb (szak-)ember legyen a talpán aki eligazodik.

Megjegyzem van egy kérdéskör, amit hiába említek meg, sosem kapok rá visszajelzést. Ez pedig a koordináta geometria mibenlétének megragadási kísérlete (megnevezési próbálkozása). Tehát hogy a klasszikus geometriának is a pont a végső elemi axiómája, meg a koordináta geometria is a pontokból építkezik. A különbség annyi, hogy míg a klasszikus geometriában a pontokat úgy különböztetjük meg, úgy azonosítjuk, hogy valamely alakzat részeként kezeljük őket (egyenes pontja, sík vagy tér pontja, háromszög csúcsa, egy ponttól azonos távolságra levő pontok stb), addig a koordináta geometriában elvileg a tér minden pontját megnevezzük a koordináták segítségével, és ebbe a házszámokkal telezsúfolt térbe helyezzük a vizsgálandó geometriai alakzatot vagy éppen a képszerűen megjelenített függvénykapcsolatot. Itt van előttünk a Descartes-féle vagy carthesianus koordináta rendszer a maga görbétlen üres, de már házszámozott, azaz beszámozott terével. És akkor jött az innováció folytatása, hogy legyen görbe a koordináta tengely, s létrejött asszociációm szerint a görbe üres tér, de már szintén beszámozva. Majd evés közben jön meg az étvágy, tekertek egyet a számozáson is és közkedveltté vált a logaritmikusan számozott tér. Ezután elkezdték forgatni a tengelyeket és aki ad valamit magára az még valamit bütyköl, tovább tuningol rajta.

De a tuningot be kellene vallani, nem? Meg a demót elkülöníteni a szériától, az agyagmodellt a működő valóságtól stb-stb.

Végül: „Van ennek egy fontos tanulsága is, az, hogy ha a mindennapi szemléletünk alapján a „józan paraszti észre” támaszkodva támadhatatlannak hitt axiómákat állítunk fel, soha nem lehetünk biztosak abban, hogy az ezekből levonható következtetéseink megfelelnek a valóságnak.” Kínálkozik más tanulság is. Nevezetesen hogy ne tegyünk úgy mint a vásári mutatványosok. Nincs más végső menedék mint az emberi (paraszti meg egyéb) józanság. Hogy miként lehet a városi mérnök értelmiség körében a paraszti jelző máig a nyersebb vagy visszafogottabb leértékelés műszava (terminus technikusa), azt nem értem (egy ideig írogattam ezügyben fűnek fának, néha le is vettek egy-egy szinkront a tv-archivumból, de szívósan működik a beidegzettség …). Mert a görögök sem támaszkodtak más végső talapzatra mint a józan ítélőképességre.

Szóval a valóság teljességgel nem ismerhető meg sem paraszti sem városi józansággal, furmánnyal, sehogyan sem. Lehet hozzá közelíteni különféle módszerekkel. De azt még a legegyszerűbb háztartási gépeknél is tiltja a törvény, hogy a használati utasítás hiányozzon vagy megtévesztő legyen. Ami pedig az üres terek görbesége ügyében szinte elvárásként teljesül.

Gondolom mindenki egyetért azzal amit írtam, meg hogy viszonylag rövid voltam.

FÁ

 From: István Héjjas < - Sent: Saturday, May 23, 2020 8:06 PM - To: Fáy Árpád <arpad.fay@gmail.com> - Subject: Re: [Fil.Társ.] együttható... - egyelőre sehol ..... de egy Sicc-trükköt szóvá lehet tenni

Kedves Árpi,

Hiába adok meg bármiféle képletet, azt értelmezni kell, ami nem biztos, hogy egyszerű.

Vettem a fáradságot, és írtam erről egy rövid ismertetést, amit csatolok.

Üdv. H. Pista

Fáy Árpád <arpad.fay@gmail.com> ezt írta (időpont: 2020. máj. 23., Szo, 10:07):

Kedves István és Laci!

Egy képletről van szó, ami nem túl bonyolult de nem is egy sorba írják, van benne tört is emlékem szerint.

És benne egy „r” vagy más betűvel jelezett paraméter, amitől függ, hogy milyen geometriához jutunk.

Dobó Andornak sok írása volt, amit én olvasónaplónak nevezve megjegyzéseimmel felraktam a honlapra, abban nem találom, hacsak nem valami más alakban, egysoros formában rejtőzik ott.

István által küldött 3 oldalasban sem látom, meg az internetes hivatkozásánál sem tűnik szembe.

Viszont István 3 oldalasának ismert rajzára tekintve ugrott be, hogy azok a félegyenes kvázi párhuzamosok rögtön érthetővé válnak, ha eláruljuk a trükköt, hogy azokat nem síkra, hanem görbült felületre rajzolták. Ilyen trükkje nem volt Euklidesznek.

Ezzel a trükkel lehetnek olyan félegyenesek is akár, amelyeknek véges hossza van egy papíron (!), mert nagy ravaszul kilukasztjuk a papírt, de nem áruljuk el az ámulatba ejtendő közönségnek. Majd indítjuk a félegyenest, és lás csudát a ceruza a lyuknál megbicsaklik. Szenzáció! Tapsot lehet kérni a mutatványnak, csak ez nem matematika.

Érdemes a matematikát ilyen színfalak mögé rejteni? Ezoteria meg elkerekedő csodálkozó szemek és a matematikának hátat fordító többség kedvéért?

Az a bizonyos hiányosan megadott axiómatika, feltételrendszer, amin bennfentes méricskélő mérnökök szemhunyorítva csettintenek?

FÁ