[i] Az itt vázolt koncepciót nem tudom minősíteni. Minősítési kategóriákként idézem az alábbi szöveget egy matematika oktatási tanulmányból. Mindenesetre középiskolai olvasókönyv szinten fel kellene kínálni a diákoknak filozófiai, politikai, jogi, közgazdasági alapvetésként – nemhogy egyetemi szinten. Az meg kiváltképpen elcsodálkoztat, hogy a rendszerváltásunk gyötrelmeiben vagy akár a rendszerváltásunk előtti időkben nem volt általános törekvés hasonló áttekinthető, összefogott, lényeget kereső modellek vázolása. Nem tudok rá magyarázatot, hogy miért kell a legalitás peremén foglalkozni ilyesmivel, szubjektív érzés szerint kormányzati, parlamenti, egyetemi-akadémiai és még ki tudja milyen ellenszéllel, közömbösséggel, akár mint valamiéletfunkcióit vesztett társadalom bódult érdektelenségében. Hogyan dolgozhat ilyen nélkül egy bíró, egy politikus, tanár, miegyéb? …. De legyen vége a panaszáradatnak még csírájában, nem az Ember tragédiájának babérjait irigyeltem meg, hanem biztos ami biztos alapon összerakok egy mozaikot. - FÁ

bizonyítási koncepciók (szintek)

Indoklás és bizonyítás Makó Zita, Téglási Ilona - Publication date 2011

Minden bizonyítás be van ágyazva egy elméletbe, amely meghatározza a felhasználható korrekt lépések sorozatát. Csak az adott elmélet alapján lehet eldönteni a bizonyítás helyességét. Az ezzel kapcsolatos megegyezések, előírások, standardok összességét nevezi Stein (1986) bizonyítási koncepciónak. Stein a matematikai bizonyítási koncepciók négy szintjét különbözteti meg:

matematikai kutatások

•    matematikai – logikai elmélet szintje – az elmélet minden részletében egyértelműen rögzített, ideális esetben a legkisebb részletekig explicite adott, formalizált. Ez a felsőbb matematika, a matematikai kutatások szintje.

főiskolai, egyetemi oktatás

•    matematikai elmélet szintje – az elmélet legfontosabb, centrálisnak tartott részletei egyértelműen adottak, mindent ismertnek tekintünk, amit a társadalom „matematikai alaptudásnak” tekint. Ezen a szinten már nincs minden explicite megadva, megengedett, hogy a bizonyítás során más matematikai területek eredményeit felhasználjuk, ha ezek „nyilvánvalóak”. Ezen a szinten a bizonyítás logikailag korrekt lépéseken alapul és elvileg formalizálható. Ez a szint felel meg a főiskolai, egyetemi matematika tanításnak.

középiskolai

•    lokálisan rendezett elmélet szintje - néhány bizonyítás láncolata van előtérbe állítva, csak amennyire az adott bizonyításhoz szükségesek, nyelvezete egy alapnak tekintett matematikai nyelvre épül, de a lépései anyanyelven vannak megfogalmazva, bár bizonyos szabályokhoz alkalmazkodnak. Nyilvánvaló axiómákat, az alapvető fogalmak definícióit és logikailag korrekt következtetési szabályokat alkalmazunk, de időnként megengedettek heurisztikus következtetési lépések is.  --<<??? - FÁ>>-- A bizonyítás során felhasználhatók nem bizonyított segédtételek is, csak a fontosabb lépéseket formalizáljuk. Ilyen lokálisan rendezett elmélet például a középiskolai geometria tételeinek bizonyítási rendszere, melyben a fogalmakat egy önkényes szintig elemezzük, „addig a pontig, ahol az ember szabad szemmel látja, hogy mit jelentenek, illetve hogy a geometriai tételek igazak” (Freudenthal, 1973).

mindennapi okoskodás

•    mindennapi okoskodások szintje - itt az elmélet részletei nincsenek egyértelműen megadva, a szövegösszefüggés, kontextus utal az elméletre. Axiómák, definíciók nincsenek explicite megadva, de léteznek bizonyos alapelvek, alapszabályok, melyeket hallgatólagosan betartunk. A felhasznált fogalmak jelentését az alkalmazásokból következtetjük ki, logikai következtetések mellett alkalmazunk heurisztikus lépéseket is.  --<<??? - FÁ>>-- A bizonyítási folyamat nyelvi (vagy képi) argumentációs lánc, melyben csak azok a lépések nem elfogadottak, amelyek megszegik a felvetett probléma feltételeit, vagy hamis feltételeket használnak fel. Szimbólumokat nem, vagy csak elvétve alkalmazunk. Erre példák a szabályjátékok (sakk, dominó, társasjátékok) és a prematematikai bizonyítások is. Az iskolai oktatásban főleg ez utóbbi kettővel találkozunk.

[ii] Az első változatlan változtató – más szóval a teremtő Isten. Fogalom szerkezetileg ezen a mai napig nem lépett túl az ember, és lehet nem is fog túllépni. Mert a feladvány: elgondolni a logikailag elgondolhatatlant. Elgondolni annak egészét, aminek részei vagyunk. Gödel a XX. században bizonyította be, hogy nem tudunk ezen a dilemmán felül emelkedni, hogy tehát önmagunk szintjéből kilépve nyilatkozzunk véges fogalmainkkal a téren-időn-okságon túli dolgokról. Ha nem volna egész világunk kényszerűen átpolitizálva, talán könnyebb volna közelíteni, megkísérteni a határokat. De átpolitizálva csak a csapkodás megy, hogy Istenre nincsen szükségünk, egyébként meg „valami hasonló” nem hiányozhat még a kozmológiai modellekből is (de ne beszéljünk róla?!).

[iii] Az axiomatikus rendszerek alapfogalmaként a pont bizonyára ősidők óta a „legáltalánosabb”, „legcélszerűbb” vagy az ilyenek egyike (pont, atom, egy, egyed, fekete doboz, „személy” stb). Bizonyára a hatás kölcsönös. Az alapfogalommá választott fogalmakra is hatással lehet ha axiómaként való használatuk elterjed. Tehát kimondatlan és kimondva az alapfogalomként való használat követelményeihez igazodhat a szó, fogalom maga is – de eredeti lényegét el nem veszítheti (oszthatatlan, a rá épülő axiomatikus tagolt fogalmi struktúrán kívül álló).

[iv] Az elméletet Georges Lemaître (1894-1966) belga pap, a Louvaini Római Katolikus Egyetem fizika és csillagászat tanára dolgozta ki először 1931-ben „ősatom” név alatt.  --<<Vagy úgy van ahogyan mondja, vagy nem, egyelőre úgy látszik, ahogyan mondja. - FÁ>>--

[v] isteni az, ami ezenkívül van – az abszolút jó-szép-igaz stb? Az osztatlan világ-egész osztatlanságában nem azonos a téren-időn felettiséggel is? Hiszen a tér-idő-okság egyesek szerint az ősrobbanás után csak bizonyos idő elteltével jellemzi a világot.

[vi] paradicsomi Ádám és Éva a „bűnbeesés előtt” ideája (tehát az osztatlan, tudás előtti korszak gondolata)

[vii] fogalmi eszköz - Intenzió - Igény a jelentés bevonására ßà a jelentés teljes (stiláris, emocionális stb.) gazdagsága azonban logikailag kezelhetetlen. Megoldás: egy szűkített, korlátozottabb jelentésfogalom bevezetése à intenzió. Az intenzió azon feltételek összességét jelenti--<<eseménytér?! - FÁ>>--, amelyek mellett a kifejezésnek logikailag kezelhető, egyértelmű, igazságértékekkel felruházott jelentés tulajdonítható. Az így pontosított jelentést nevezzük fogalomnak.  --<<Tehát kifejezés részhalmaza a fogalom? Van némi káosz az elérhető definíciókban. - FÁ>>--  _ _...---<<nem a szó az az elemi kifejezés, amely a fogalmat leképezi? A fogalmakkal végzünk műveleteket (itt az egyértelmű művelet végzésére alkalmassá tett szó-jelentés?). -FÁ>>---..._ _ A nyelvi kifejezések – pontatlanságuk és homályosságuk miatt – ilyen jelentéssel nem rendelkeznek eleve à az intenzióhoz interpretálás (értelmezés, egyértelműsítés) révén jutunk. Az interpretálás a való világ tényeire vonatkoztatja a nyelvi kifejezéseket. --<<egyetemi jegyzetből, további hivatkozás nélkül (hogy ez milyen irányzat, kihez köthető … azt nem látom át) - FÁ>>--

http://www.google.hu/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&cad=rja&ved=0CD8QFjAC&url=http%3A%2F%2Fjogikar.uni-miskolc.hu%2FprojectSetup%2Ffiles%2Fjoe%2Flogika%2Flogika_7.ppt&ei=PFKbUqK8Hsm8ygPDsILwCQ&usg=AFQjCNF-Wo6aZjhZ15Gv0_6M91IavKOpwg&bvm=bv.57155469,d.Yms

a fogalmak az állítások olyan befejezetlennek vagy hiányosnak tekinthető részei, melyet egy tárgyra vonatkoztatva zárt állítást kapunk.

http://hu.wikipedia.org/wiki/Fogalom

[viii] egzakt az az ismeret, módszer, amelynek egyebek mellett tisztázott az alanyhoz való viszonya, az alanyi (személyi) státuszhoz való eszköz mivolta, alkotottsága

[ix] közismert táblázat kiegészítésekkel a 2-ik és 3-ik oszlopban

Arisztotelesz kategóriái
1.                  szubsztancia (οủσία=uszia vagy τί εστι=ti eszti, önállóság, lényegiség, essentia);	szubsztancia – a lényeget fejezi ki (fennállóság, önmagában létező (?), állag (nyelvújítási), a dolog mivolta)		közvetlenül nem tapasztalható (deduktív?)
2.                  mennyiség (ποσóν=poszón, quantitas)	akcidens – a lényeget nem fejezi ki, járulékos tulajdonság, amely a lényeg megmaradása mellett az ellenkezője is lehet (járulék)		véges létezőkben megtapasztalható (induktív?)
3.                  minőség (ποιóν=poión, qualitas)
4.                  viszony (πρóσ τι=prosz ti, viszony, relatio)
5.                  hely (πού = pu, locus)
6.                  idő (ποτέ = poté, tempus)
7.                  helyzet (κεĩσθαι = keiszthai, situs)
8.                  birtoklás (+¸έχειν = ekhein, „van valamije”, habitus)
9.                  cselekvés (ποιεĩν = poiein, „hatás”, actio)
10.              elszenvedés (πάσχειν = paszkhein, passio)
(az első oszlop) http://hu.wikipedia.org/wiki/Kateg%C3%B3ri%C3%A1k_%28Arisztotel%C3%A9sz%29

[x] a tudatos gondolkodás fejlődési útjának egy fázisa volt a szubsztancia és akcidens megkülönböztetése - FÁ

[xi] Magyar Katolikus Lexikon > A > axióma

axióma (gör. 'alapigazság, sarkigazság'): önmagától belátható alaptétel, biztos állítás, amelynek alapján valamit bizonyítani lehet; szűkebb értelemben a legáltalánosabb állítások, amelyek több tudományág számára is egyaránt használhatók analóg módon, s amelyekből mint első elvekből (prima principia) további bizonyítások levezethetők. - A modern deduktív tud-okban az ~k nem úgy szerepelnek, mint maguktól érthető állítások, hanem mint előfeltételek,  --<<tehát mint eseménytér kikötés?! - FÁ>>-- amelyekből valamely ter-en újabb tételek állíthatók föl. Egy igazságot akkor tekinthetünk ~nak, ha nincs benne ellentmondás, ha nem vezethető vissza egy alapvetőbb tételre, s ha a befejezettség benyomását kelti. Cs.I.

Axióma, (görög), a. m. sarktétel, alapigazság, tekintély; filozófiai értelemben: tovább már nem igazolható, de viszont önmagában világos tétel, amely tehát igazolásra nem is szorul, (közvetlenül belátható, evidens). Ilyen A. pl. a matematikában, hogy két pont között a legrövidebb vonal az egyenes. Már Aristoteles szerint: egy ponton "meg kell állni", ha a bizonyítékok sorában visszafelé haladunk és filozófiai műveletlenség jele, ha valaki mindent akar bizonyítani, mert a végső elvek nem bizonyíthatók. Axiomatikus módon tudományt először a görögök alapoztak meg, mégpedig Euklides, (l. o.) a geometriát. Ő szemléletileg evidens, (magától értetődő) alaptörvényeket igyekezett A.-knak választani; a modern matematika ettől sokszor eltér, sőt néha egyenesen a szemléletnek ellentmondó tételt is kénytelen A.-nak elfogadni, (l. Abszolút geometria). Az A.-knak egymástól függetleneknek, (egyik se legyen bizonyítható a többiből) és ellentmondás nélkülieknek kell lenniök. A geometriának Euklides által megadott A.-rendszere még nem volt teljes, ilyent csak a XIX. sz. legvégén dolgozott ki Hilbert, (Die Grundlagen der Geometrie). Az olasz Peano állította össze azokat az A.-kat, amelyekből a természetes számok tulajdonságai és a műveleti szabályok levezethetők. - http://hu.metapedia.org/wiki/Axi%C3%B3ma

Axióma - Olyan alapvető állítás, amelynek igazságát minden további nélkül elfogadjuk, amelyet nem bizonyítunk. A modern matematika számos elmélete (pl. halmazelmélet, algebrai struktúrák elmélete, stb.) axiómarendszerekre épül. Ez azt jelenti, hogy kezdetben felvesznek bizonyos számú axiómát ("építőkockát"), majd az egész elméletet és tételeket ezekből vezetik le. Egy axiómarendszertől gyakran megkövetelik, hogy axiómái egymásból ne legyenek levezethetők, minél kevesebb legyen belőlük, és az axiómákból ne lehessen levezetni ellentmondást. Ezeket a követelményeket általában igen nehéz ellenőrizni. Más axiómarendszerek más-más elméletet eredményeznek. Az euklideszi geometria híres párhuzamossági axiómáját alkalmas axiómával helyettesítve például a kapott geometria nem a sík, hanem görbült felületek geometriájának leírására lesz alkalmas. - wikipedia

[xii] Kategorikus szillogizmus (wikipedia)

A szillogizmus, Arisztotelész leggyakoribb megfogalmazásában, olyan feltételes állítás, amely két kategorikus állítás igazságát föltételezve állítja egy harmadiknak az igazságát, kikötve, hogy a két föltétel egyikében szerepel az utótag állítmánya (ez az ún. felső premissza), a másikban pedig az utótag alanya (ún. alsó premissza), és a két föltételben a másik terminus (az ún. középső terminus) közös.

Legegyszerűbb esete:

"Ha A minden B-re (ill. egyetlen B-re sem) vonatkozik, B pedig minden C-re vonatkozik, akkor A minden C-re (ill. egyetlen C-re sem) vonatkozik." Természetesen a szillogizmus nem állítás, hanem séma; a kategorikus szillogizmus akkor érvényes, ha a benne szereplő betűket tetszőleges általános terminusokkal kitöltve, szükségszerűen igaz állítást kapunk. A kategorikus szillogizmus következtetési sémának is felfogható, a két feltételt tekintve premisszának és az utótagot konklúziónak.

[xiii] „tájákozódó skicc”

axióma = alapelemre levezetés nélküli viszony, állítás, művelet értelmezhető

alapelemnek a – definíciója (3,7)

alapelemek közti – viszony (kisebb-nagyobb)

alapelemek közti – művelet (összeadás)

alapelemre támaszkodó – levezetés nélküli állítás

axiómára épülő – levezetett állítások, műveletek

viszony

művelet

állítás – viszony vagy műveletek által

definíció –meghatározás

[xiv] A fogalmat sokféleképpen értelmezik, történelem során is változott a meghatározása. Alapvetően elemi, tovább nem osztott jelentésbeli egységnek tekintem, aminek a kimondott szó lehet például megfelelője. A fogalomhoz tartozhat meghatározás, definíció, amely mentén elindulva lehet a fogalmat nem csak pontosítani, hanem esetleg belső jelentésbeni szerkezetében is feltárni. Az alapfogalmat ha ilyen módon feltárom, akkor a feltárás révén olyan területre lépek, ahol már nem alapfogalom. A fogalommal lehet műveleteket végezni (de ezen műveleteket sejtem inkább, mint pontosan fel tudnám sorolni). Úgy képzelem, hogy további kijelentésekben szerepelhet alkotó elemként.

[xv] Verhóczki László: Axiómarendszerek és modellek - ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék - Budapest, 2010

--<<a további fejezetek matematikai szimbólumokkal veszik sorra a bevezető fejezet témaköreit. - FÁ>>--

1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek

Egy matematikai elmélet felépítésének alapelvei

Minden matematikai elmélet fogalmak és állítások gyűjteményeként fogható fel. Az elmélet felépítése során a felhasznált fogalmakat korábbi fogalmak segítségével kell körülírni (más szóval definiálni), a kimondott állításokat pedig be kell bizonyítani. Állításon tehát egy olyan kijelentést értünk, amely az adott elmélet fogalmaival kapcsolatos összefüggést (vagy összefüggéseket) fogalmaz meg, és amelyet korábban igazolt állításokból logikai úton le lehet vezetni. Már az ókori görögök rájöttek arra, hogy egy önálló elmélet egzakt felépítéséhez szükség van olyan kijelentésekre (úgynevezett alapigazságokra), amelyek az elmélet alapját képezik, és amelyeket emiatt nem bizonyítunk. Ezeket nevezzük az elmélet axiómáinak. Az axiómákon tehát azokat az elmélet alapjául szolgáló állításokat értjük, melyeket bizonyítás nélkül elfogadunk. A bennük szereplő fogalmak egy részét külön nem értelmezzük, mivel ezeket az axiómák által leírt összefüggések (relációk) jellemzik. Az axiómákban szereplő azon fogalmakat, amelyeket külön nem definiálunk, primitív fogalmaknak nevezzük.  --<<az alap- vagy sarokfogalom érthetőbb - FÁ>>-- Az axiómák együttesen az elmélet axiómarendszerét képezik.

Amennyiben rögzítettük az axiómarendszert, akkor az elméletben szereplő összes fogalmat a primitív fogalmakat felhasználva kell értelmezni (más szóval definiálni), az állításokat pedig az axiómákból kell levezetni.

Elvárások egy axiómarendszerrel szemben:   ellentmondásmentesség, függetlenség

Egy elmélet axiómarendszere akkor ellentmondásos, ha meg lehet adni egy olyan kijelentést (állítást), hogy azt és annak tagadását az axiómákból egyaránt le lehet vezetni. Az ellentmondásmentesség ennek az ellenkezőjét jelenti, tehát azt, hogy egy kijelentést és annak tagadását semmiképp sem lehet az axiómákból kiindulva bizonyítani. Bármely tudományos elmélet axiómarendszerével szemben alapvető követelményként támasztják az ellentmondásmentesség teljesülését.

Egy axiómarendszert függetlennek mondunk, ha bármelyik axiómát is vesszük, azt a többi axiómából nem lehet levezetni. Más megfogalmazásban ez azt jelenti, hogy egyik axióma sem következménye a többinek. Egy elmélet axiómarendszerének kidolgozásánál általában törekedni szoktak a függetlenség elérésére. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy a függetlenség elvének feladásával olyan axiómarendszert lehet kialakítani, amelyre alapozva az elmélet gyorsabban és hatékonyabban felépíthető.

Egy elmélet axiómarendszere akkor teljes, ha az elmélet kapcsán felvethető bármely kijelentésről (állításról) el lehet dönteni annak igaz vagy hamis voltát. K. Gödel osztrák matematikus az 1930–as években bebizonyította, hogy ha egy axiómarendszer eleget tesz bizonyos minimális feltételeknek, akkor azzal kapcsolatosan mindig lehet találni olyan állítást, amelynek sem igaz voltát, sem pedig hamis voltát nem lehet az axiómákból levezetni. Ily módon a teljesség a geometriai axiómarendszerek esetében sem teljesül. Fontos viszont megjegyezni, hogy ezek az el nem dönthető állítások általában mesterkéltek.

Az ellentmondásmentesség mellett minden tudományos elmélettől elvárják még azt is, hogy valamire alkalmazható legyen a gyakorlatban. --<<absztrakciós híd a valóság és a képzeletünk, fogalmi gondolkodásunk között, amelynek célja az emberi lét önszervezése - FÁ>>--  Egy elmélet alkalmazhatóságának persze lehetnek (és általában vannak) korlátai. Az euklideszi geometria állításai, összefüggései jól alkalmazhatóak a műszaki tudományokban, különösen a gépészetben és az építészetben adódó feladatok megoldására. Az asztrofizikai vizsgálatok és számítások esetében azonban az euklideszi geometria eszközei már nem elégségesek.

A geometria történeti vonatkozásai

A geometria a legrégebbi matematikai tudomány, amelynek keretei az ókorban alakultak ki. Az ókori társadalmakban a mezőgazdasági termelés megszervezéséhez szükségessé vált a földterületek nagyságának jellemzése, vagyis a földmérés. Emellett az építészetben és a képzőművészetben fellépő gyakorlati problémák is igényelték a különféle térbeli alakzatok tulajdonságainak vizsgálatát, ami egy tudományos elmélet, a geometria kialakulásához vezetett. A geometria szó egyébként görög eredetű, magyarra fordítva földmérést jelent.

A köznapi szóhasználatban manapság azt szokták mondani, hogy a geometria a térbeli alakzatok (ponthalmazok --<<de ez már az 1899-es axióma megfogalmazása - FÁ>>-- ) tulajdonságaival foglalkozó tudomány.

Az emberiség történetében az első tudományos igényű elmélet kidolgozójának a görög Euklideszt tekintik, aki az i.e. 300 körül írt Elemek című művében az akkori geometriai ismereteknek egy rendszeres összefoglalását adta meg. Euklidesz felismerte, hogy a geometria elméletének felépítéséhez is szükség van "alapkövekre",  --<<mint a házépítésnél a falak alapjai az ókor óta  - FÁ>>-- vagyis olyan kiindulópontként szolgáló állításokra, melyeket bizonyítás nélkül elfogadunk. Az általa megadott axiómákon alapuló matematikai elméletet nevezik euklideszi geometriának.

Euklidesz "alapigazságai" között szerepel egy olyan axióma is, amely egyenértékű az alábbi kijelentéssel: Ha egy síkban adott egy egyenes és egy hozzá nem illeszkedő pont, akkor a síkban csak egy olyan egyenes van, amely áthalad az adott ponton és nem metszi az adott egyenest. Ezt a kijelentést nevezik az euklideszi geometria Párhuzamossági axiómájának. (Két egyenest akkor mondunk párhuzamosnak, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk.) A fenti axióma tehát kimondja, hogy egy adott ponton át csak egy olyan egyenes halad, amely egy megadott egyenessel párhuzamos. A Párhuzamossági axiómával kapcsolatban meg kell említenünk, hogy azt Euklidesz egyes kortársai és a későbbi korok egyes matematikusai is nagyon erős összefüggésnek tartották, és axiómaként való alkalmazását emiatt kritizálták. --<<főleg a kalózok, mert a térképen látszólag az északi sarkon meg a délin az É-D körök találkoznak (a kérdés csak az, hogy egy pontban, amely mindegyiknek mint a zárt végű intervallum határpontja közös, vagy …..). Mert a térképen az É-D körök lényegében zárt végű szakaszok, NEM? - FÁ>>--

Az ókorban és a középkorban a geometriai vizsgálatok során főként szintetikus (más szóval elemi) eszközöket használtak.  --<<a szintetiksu szónak ezt az értelmét nem láttam eddig. - FÁ>>-- A geometriai tárgyalások számára egy új és igen hatékony módszert adott R. Descartes francia matematikus, aki az 1637–ben kiadott Geometria című könyvében már alkalmazta a síkbeli koordináta–rendszert, ami lehetővé tette a nevezetes síkbeli alakzatok egyenletekkel történő leírását.  --<<ezzel az axiomatikus tárgyalásnak egy új eszközét alkotta meg, amit szívem szerint itt rögtönözve külső feltételnek mondanék, vagy axiomatikus eszköznek, amit csak úgy oda tettek (kívülről a geometria axioma rendszerének vagy belső eszközének…. van-e értelme a külsőt és belsőt megkülönböztetni?). - FÁ>>-- Ez vezetett az analitikus geometria kialakulásához, amely a geometriai problémák tárgyalásához az algebra és az analízis  --<<az integrál közelítő meg a differenciál jelleget elemző eszközei - FÁ>>-- eszközeit is felhasználja. A XVIII. században a geometriai vizsgálatokban egyre inkább előtérbe kerültek az analitikus módszerek, továbbá fontos szerephez jutott a Párhuzamossági axióma függetlenségének kérdése. Egyes matematikusokban az az ötlet támadt, hogy a párhuzamosságra vonatkozó axiómát a többi axiómából már le lehet vezetni.

Fontos megjegyeznünk, hogy a XIX. század közepéig a geometriát művelői úgy tekintették, mint a bennünket körülvevő fizikai tér jól meghatározott tulajdonságait leíró tudományt, melynek összefüggéseit (állításait) a tapasztalat révén ellenőrizni lehet. Ennek következtében a geometriai tárgyalások során egyes összefüggéseket bizonyítás nélkül, csupán a szemléletre hivatkozva alkalmaztak. Ugyanakkor, a tapasztalatra támaszkodó felfogás fölösleges kötöttségeket is okozott.

A XIX. században a geometria terén is döntő előrelépések történtek. Az 1820–as évek végén Bolyai János magyar és N. I. Lobacsevszkij orosz matematikusok vizsgálataik során egyidejűleg arra az eredményre jutottak, hogy amennyiben a Párhuzamossági axióma helyett annak tagadását veszik "alapigazságként" és a többi axiómát meghagyják, akkor ki tudnak dolgozni egy olyan elméletet, amelyben nincs ellentmondás.  --<<ez már nem a kalózkapitányok térképkezelési problémáin alapult? - FÁ>>-- Ebből pedig már adódik, hogy a Párhuzamossági axióma nem lehet következménye az euklideszi geometria többi axiómájának.

Bolyai és Lobacsevszkij nemcsak azt ismerték fel, hogy a Párhuzamossági axióma a többi axiómától független, hanem rámutattak arra, hogy az euklideszi geometrián kívül más geometriai elméletek is kidolgozhatóak. A Párhuzamossági axióma tagadásával felépített geometriát nevezik hiperbolikus geometriának (vagy más szóval Bolyai–Lobacsevszkij–féle geometriának).

Ha a Párhuzamossági axiómát elhagyjuk az euklideszi geometria axiómái közül, akkor a visszamaradt axiómákra alapozott matematikai elméletet abszolút geometriának mondjuk. Ezen meghatározásból következik, hogy az abszolút geometria eredményei mind az euklideszi geometriában, mind pedig a hiperbolikus geometriában érvényben maradnak.

A XIX. század második felében jöttek rá arra, hogy az axiómák között szükség van olyan kijelentésekre is, amelyek az elválasztási (rendezési) relációkkal kapcsolatosak. A korábbi vizsgálatoknál ugyanis az elválasztási kérdések nem voltak megfelelően tisztázottak. M. Pasch német matematikus adott egy olyan szabatos axiómát, amely azt eredményezi, hogy egy egyenes az őt tartalmazó síkot mindig két félsíkra vágja, illetve egy sík a teret mindig két féltérre osztja.

F. Klein német matematikus irányította a figyelmet a geometriákban fellépő transzformációcsoportok tanulmányozásának fontosságára. Egy 1872–ben tartott előadásában, amely az erlangeni program néven vált közismertté, Klein a geometriai elméletek egyik alapvető feladataként jelölte meg a különféle transzformációcsoportokkal szemben invariáns (vagyis a transzformációk által meg nem változtatott) fogalmak és tulajdonságok meghatározását. A transzformációcsoportok kiemelt szerepe egyben a geometria és az algebra szoros kapcsolatát mutatja.

Az euklideszi geometria első olyan axiómarendszerét, amely teljes mértékben megfelel a modern tudományos igényeknek, D. Hilbert német matematikus adta meg 1899–ben A geometria alapjai című könyvében. Az általa leírt axiómákat tartalmuk alapján csoportokba lehet sorolni, így a

·                    Párhuzamossági axióma mellett szokás beszélni az

·                    illeszkedési, a

·                    rendezési, az

·                    egybevágósági és a

·                    folytonossági axiómákról.

A Strohmajer János által írt A geometria alapjai című jegyzet lényegében a Hilbert–féle axiómarendszert veszi a tárgyalás alapjául.

Az euklideszi geometriának a Hilbert–féle axiómákon alapuló felépítése matematikailag teljesen korrekt módon elvégezhető, viszont nagyon időigényes. Emiatt az 1930–as években G. D. Birkhoff amerikai matematikus javasolt egy igen erős axiómat, amely felteszi, hogy a téren adva van egy távolságfüggvény, továbbá az egyenesek pontjai és a valós számtest elemei között olyan bijektív megfeleltetéseket (koordinátázásokat) lehet létesíteni, ahol bármely két pontnál a koordináták különbségének az abszolút értéke megegyezik a két pont távolságával. A szakirodalomban ezt nevezik Birkhoff–féle vonalzó axiómának.

A Birkhoff–féle vonalzó axióma erősségét mutatja, hogy a Hilbert–féle rendezési és egybevágósági axiómák közül többet is helyettesít, és Hilbert mindkét folytonossági axiómája ugyancsak következik belőle.

További fontos geometriai elméletek

Az euklideszi geometria, az abszolút geometria és a hiperbolikus geometria mellett feltétlenül meg kell még említenünk a projektív geometriát, mint egy további klasszikus geometriai elméletet. A képzőművészetben nagy szükség volt a centrális vetítés tulajdonságainak tanulmányozására, és ennek során fejlődött ki a projektív geometria. Kiderült, hogy a centrális vetítések vizsgálatában egy hasznos módszer, ha az euklideszi teret kibővítjük a párhuzamos egyenesosztályokhoz rendelt ún. ideális pontokkal. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy a projektív geometria felépíthető önálló matematikai elméletként is egy megfelelő axiómarendszert véve alapul.

A XVIII. században már világossá vált, hogy az euklideszi tér görbéinek és felületeinek analitikus vizsgálata során hatékonyan lehet alkalmazni az analízis eredményeit. Ez a felismerés vezetett a differenciálgeometria kialakulásához. A differenciálgeometria teljes mértékben a topológia, az analízis és az algebra által kidolgozott fogalmakra építkezik, ezek felhasználásával definiálja saját fogalmait. Ily módon a differenciálgeometria esetében nincs szükség az axiomatikus felépítésre. --<<mármint önálló axiómákra, de használja, átveszi az axiómák által kicsiszolt vagy az axiomatikus felhasználás érdekében kicsiszolt fogalmakat. A kérdés ilyenkor már csak az, hogy az átvétellel nem lépünk-e át valami olyan határt, ami fontos minőségi különbség elhanyagolását jelenti. - FÁ>>--

A geometriai modellek szerepe

Egy matematikai elmélet axiómarendszerében szereplő állítások az elmélet alapelemeire vonatkozó relációkat (összefüggéseket) fogalmaznak meg. Amennyiben megadunk olyan konkrét objektumokat és közöttük olyan világosan leírt kapcsolatokat (relációkat), amelyekre teljesülnek az axiómarendszer kijelentései, akkor ezen objektumokat kapcsolataikkal együtt az axiómarendszer egyik modelljének mondjuk.

A modell tehát nem más, mint az elmélet egyik realizálása.  --<<? - FÁ>>-- Egy elméletnek természetesen sokféle modellje lehet. Fontos viszont kiemelnünk, hogy az elmélet bármely (az axiómákból levezetett) állításának az összes modellben igaznak kell lennie. Amennyiben egy elmélet ellentmondásos, akkor ahhoz nem lehet korrekt modellt rendelni, mivel az ellentmondásnak "az elmélet modelljében" is meg kell mutatkoznia. Ily módon a modell segítségével nemcsak az elmélet állításainak ellenőrzésére nyílik mód, hanem az axiómarendszer ellentmondásmentességének igazolására is.

Az euklideszi geometria legfontosabb modellje az R valós számtestre épített analitikus modell. Mivel a valós számokat felhasználva egy modellt tudunk adni az euklideszi geometriára, azt mondhatjuk, hogy amennyiben a valós számok axiómarendszere ellentmondásmentes, akkor az euklideszi geometria axiómarendszere is ellentmondásmentes. --<<? bizonyára, csak nem értem - FÁ>>--

A hiperbolikus geometriának több modelljét is meg lehet konstruálni az euklideszi geometriában (illetve az euklideszi térben). Közülük legismertebb a Cayley–Klein–féle gömbmodell, amely egyben a hiperbolikus geometria elsőként felfedezett modellje. --<<szemléltető modell? - FÁ>>-- Annak igazolásához, hogy a Cayley–Klein–féle gömbmodellben teljesülnek az abszolút geometria axiómái alkalmaznunk kell a projektív geometria  --<<képzőművészetben került kifejlesztésre - FÁ>>-- alapvető fogalmait és tételeit is.

[xvi] állítás nem egyenlő művelet --- fogalom és szó (ragozott szó?) meg fogalom belső logikai szerkezete - ?

[xvii] a kettő (deduktív és induktív) céljában és eszközileg elkülönült, ugyanakkor együtt adnak működőképes egészet – nincs köztük értékbeli vagy történeti fontossági sorrend (főleg nem, hogy melyik van baloldalon vagy jobboldalon)

[xviii] A dedukció a latin levezetni, leszármaztatni szóból ered, és nem keverendő össze az indukcióval. Jelentése: általánosból, egyetemesből a részlegesre való visszavezetés, vagy másként fogalmazva előfeltételezésekből szigorú logikai szabályinak megfelelően konklúziókat vonunk le. Használatos a filozófiában, a kutatásmódszertanban, a pszichológiában stb., más-más lényegi értelemben. http://mediapedia.hu/dedukcio

[xix] Az induktív gondolkodás Induktív következtetés esetén az egyes eredményekből, adatokból következtetünk az általános törvényszerűségekre. Például a fogalomalkotás is az induktív következtetés példája. A matematikai feladatok megoldásánál is gyakran alkalmazzuk a logikai következtetésnek ezt a formáját. Például amikor számsorozatoknál ki kell következtetni azt az általános szabályt amely szerint az felépül. http://www.ektf.hu/hefoppalyazat/pszielmal/a_kvetkeztets_mint_a_logikai_gondolkods_formja.html

[xx] Az emberi megismerés alanya csak az ember lehet ... „saját táblázat”

a megismerés tárgya lehet	a megismerés tárgyának és alanyának a viszonya az emberi megismerés és szabályozás kérdése
szervetlen világ	alanya ▼ tárgya	rálátó megismerés elvi lehetősége az objektív ismeretekre törekvés valamint az egyoldalú „külső”, a megismerésen alapuló irányítás, szabályozás lehetséges területe
szerves, élő világ
emberi világ	alanya ► tárgya	vele-benne élő megismerés lehetősége a „természettől adott” (!) szabadság, önreflexió, együttműködés, felelősség, erkölcsi normák, alkotás, kultúra, szép-igaz-jó területe <<>> egyrészt az emberi jelenség a maga lényegében az ember által megismerhetetlen (lásd Gödel tételeit), tehát legfeljebb „csak” megélhetők az emberi lét sajátságai - ezért megkerülhetetlen alapvető kérdés az emberi személyiség minden más emberhez mért eredendő, „természetadta” szabadságának elismerése <<>> másrészt az emberi közösség kapcsolati szabály-rendszere időben előre haladva kényszerűen "mind emberibb" alkotás, amelyért az ember és közössége felelősséggel tartozik <<>> az emberi személy és közösségei eredendő szabadságának elvitatása minden más emberi személlyel és közösséggel vagy bármi egyébbel szemben (például úgymond "a" jogi személy, állam, tőke javára!) az embert ember-alatti, azaz állati lét, vegetálás felé szorítja.
ember feletti világ	tárgya ▲ alanya	a feltételező, megsejtő, hívő „megismerés” lehetősége az ember felettiben, a felfoghatatlanban, az abszolútban, "isteniben", ahol megismerésről elvileg nem lehet szó az ember részéről, legfeljebb hitről, vélekedésről <<>> ebben a viszonylatban ha irányításról, szabályozásról esik szó, annak az ember legfeljebb tárgya lehetne, és ha Isten embert teremtett szimbolikus értelemben vagy a szó közvetlen jelentésében, akkor ezt az embert küzdelmes, felelős szabadságra teremtette, nem gondtalan, felelőtlen létre

Gödelről egyébként - Kurt Gödel a 20.szd. első felében több megdöbbentő tételt bizonyított. Nem precízen megfogalmazva kiderült, hogy: Minden axiómarendszer, ami elér egy bizonyos bonyolultságot, nem teljes, azaz megfogalmazhatók benne olyan érvényes állítások, melyek igaz vagy hamis volta nem dönthető el. - http://fiz-kem.sze.hu/twiki/pub/FizKemPubl/Targy_ModFizVilagkepe/modfiz_matemat_hatarai.pdf

[xxi] vajon a kiterjedés nélküli deduktív pont szubsztanciális? – vagy későbbi a szubsztancia fogalmánál az axióma alapfogalma,

[xxii] vajon a kiterjedés nélküli tömegpont szubsztanciális?

[xxiii] Hasonlat fogalma

Hasonlatnak nevezzük azt, amikor a hasonlító és a hasonlított között valamilyen hasonlóság, közös vonás van. A képi elem és a tárgyi elem nincs egymással azonosítva, hanem csak párhuzamban állnak.

Formailag a mondatban kötőszók („mint”), határozószók, utószók kapcsolják össze a hasonlítottat és a hasonlót.

Elemei

1. Hasonlított (tárgyi elem) – hiányozhat
2. Hasonlító (képi elem) – nem hiányozhat
3. motívum – összehasonlítás alapja
4. modalizátor – hasonlítást kifejező szó

[xxiv] „saját táblázat”

a személy deduktív alapfogalomként	bővebben
kiterjedés nélküli	léte független a testi adottságtól (fogantatástól a halálig, sőt talán azon túl is), mindenképpen deduktív jellegű, a testi meghatározottságtól mentes, definíció szerint nincsen alávetve az evolúcióból következő faji meghatározottságnak (ami például a jogi felelősségnek is előfeltétele)
egyedi	önmagában megálló (ettől még lehetne sorozatban sok is belőle, de mindegyik önmagában megálló, azaz nem csoportot jelölő fogalom)
megismételhetetlen	egyszeri (nem lehet belőle sorozat a test klónozásával sem, mert esetleges testi klónozás eredményekénti egyedek személyisége is definíció szerint egymástól különbözik – más kérdés, hogy mennyire teljesedhet ki a klónok személyisége)
értelemmel rendelkező	értelmes gondolkodásra képes – amit az ösztönössel, reflex-szerűvel, tudatalattival szembe állítva is szoktak meghatározni
szabad akaratú	sem fizikailag, sem biológiailag, sem fajilag sem egyéb módon nem determinált emberi döntéseiben
közölhetetlen létezésű	az ember mint személy tetteivel önmagában a maga létének teljes egészét valósítja meg, érvényesíti az adott helyzetben - tettei szuverén létének megnyilvánulásai (a közölhetetlenség csak az ismeretelméleti logikát képviseli a létezés teljes egészének egyik vonatkozásában) – a közölhetetlen létező tetteiért felelősséggel végső soron csak önmagának illetőleg abszolút értelemben Istenének felel, azaz világi hatalom meg sem ismerheti, nem is mérlegelheti létezésbeli legfontosabb ismérveit (utóbbi reláció csak még jobban hangsúlyozza, hogy a világi hatalom mint tekintély, mint létforrás teljességgel illetéktelen, meg sem jelenik a személyi minőség dimenzióban)
a létezés teljessége	csak megélhető, csak megnyilvánulásáról beszélhetünk, és tudhatunk létezéséről, tudomásul vehetjük létezését
integritas, 'teljesség'	nem rész-szubsztancia és nem is akcidens, hanem teljes, a szó eredeti, arisztoteleszi értelmében vett szubsztancia
"A személy az értelmes természet oszthatatlan állaga" - Boetius szerint	? – forrásokat egyértelműsíteni kellene
és hozzá tenném még, hogy a személy intelligens érzelmű	ez utóbbi, az érzelmet megemlítő tételt nem olvastam sehol, de amint megismerkedtem a személy Boethiusra hivatkozó definíciójával, rögtön hiányoltam – talán a hit-remény-szeretet hármassága ebből ad vissza valamit (de megközelítésemből következik, hogy feltételezem azaz keresem az intelligencia olyan definícióját amely az emberi intelligenciát az értelmi intelligencia mellett érzelmi intelligenciának is tekinti, a kettőt együtt, komplexen tekinti az ember erényének, sajátságának (zet még pontosítani kell)

[xxv] http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/termeszettudomanyok/fizika/fizika-11-evfolyam/meresi-modszerek-es-keletkezesi-elmeletek/az-osrobbanas-elmelet

[xxvi] http://www.konkoly.hu/~kovari/CSILLAGASZAT/tananyag/CSILLAGASZAT/13_04.html