vissza a főoldalra *  

Függelék 1/b)

Euklidesz és Hilbert axiómái, a görbült felületek praktikuma

-  5 oldal + 6. oldaltól két wikipédiás szócikk

Tartalom

Úgy tűnik, egy gyakorlati probléma kezelése kedvéért tértek el az euklideszi egyenes és sík fogalmától a görbült terek geometriájának megfogalmazói (és nem az euklideszi axiómák belső logikai kikezdhetősége miatt). PAGEREF _Toc364593291 \h 2

Euklideszi és görbült geometriai axiómák ellentmondásainak feloldása – könnyen érthetően (amit laikusként hiányolok az ismertetésekből), a közvélemény számára elérhető érthetetlen magyarázatokkal szemben  PAGEREF _Toc364593292 \h 2

Térjünk vissza az alapokhoz, a hasonlítotthoz, a gondolatokat elindító euklideszi axiómákhoz. PAGEREF _Toc364593293 \h 5

EUKLIDESZI axiómák - wikipédiából PAGEREF _Toc364593294 \h 6

Tartalomjegyzék. PAGEREF _Toc364593295 \h 6

Axiómák vagy „közismert fogalmak”. PAGEREF _Toc364593296 \h 6

Posztulátumok vagy „követelmények". PAGEREF _Toc364593297 \h 6

Megjegyzések. PAGEREF _Toc364593298 \h 7

Jegyzetek. PAGEREF _Toc364593299 \h 7

Források. PAGEREF _Toc364593300 \h 7

HILBERT-féle axiómarendszer - wikipédia szócikk. PAGEREF _Toc364593301 \h 7

Tartalomjegyzék. PAGEREF _Toc364593302 \h 8

Az axiómák. PAGEREF _Toc364593303 \h 8

Az illeszkedés axiómái PAGEREF _Toc364593304 \h 8

A rendezés axiómái PAGEREF _Toc364593305 \h 9

Az egybevágóság axiómái PAGEREF _Toc364593306 \h 9

A folytonosság axiómái PAGEREF _Toc364593307 \h 10

A párhuzamosság axiómája. PAGEREF _Toc364593308 \h 10

Jegyzetek. PAGEREF _Toc364593309 \h 10

Hivatkozások. PAGEREF _Toc364593310 \h 11

Külső hivatkozások. PAGEREF _Toc364593311 \h 11

Úgy tűnik, egy gyakorlati probléma kezelése kedvéért tértek el
az euklideszi egyenes és sík fogalmától

a görbült terek geometriájának megfogalmazói

(és nem az euklideszi axiómák belső logikai kikezdhetősége miatt).

 

Euklideszi és görbült geometriai axiómák ellentmondásainak feloldása
 – könnyen érthetően (amit laikusként hiányolok az ismertetésekből),
a közvélemény számára elérhető érthetetlen magyarázatokkal szemben

Nem értem, miért nem lehet tisztán, egyébként a mai szakmai ismereteknek, fogalmaknak megfelelően beszélni. Kijelenteni, hogy az euklideszi sík nem tárgya a görbült felületű geometriának. Tehát semmi hókusz-pókusz. Nem a párhuzamossági tétel mondott csődöt, hanem bizonyos térképészeti és egyéb számítások könnyebb elvégezhetősége érdekében „vissza léptek”, eltértek az euklideszi tér „tiszta” fogalmától (mintha összegyűrték volna Euklidesz rajzait, vagy még inkább rugalmas anyagra írták volna őket, és aztán a rugalmas lapokat hajtogatva, húzogatva nézték volna, hogy miként változnak „a görögre” emlékezve euklideszinek mondott rajzok). A viszonyítási alap azonban mintha változatlanul a görög sémája maradt volna – különben hova lenne a mutatvány, a néző megzavarhatósága?

Az euklideszi egyenes merőlegeseinek száma végtelen, de egyik sem találkozhat a másikkal.

Az euklideszi sík merőlegeseinek száma végtelen, de egyik sem találkozhat a másikkal.

Kristály tiszta. Ha ez a sík és egyenes indexálatlan fogalma, akkor a görbült geometriában általában véve nincsen sík és nincsen egyenes (csak görbült vagy hajlított felület és valamely szabály szerint hajló egyenes), aminek a határesete lehet valóban sík és egyenes.

A hajló, görbült jelzők eszerint nem csak a laikus képiségben támaszkodnak az euklideszi geometria sík és egyenes fogalmaira, hanem szakmailag is pontosan fejezik ki az absztrakció felépülését történetiségében, sőt értelmet érvényre juttató logikájában is. Ezt a következetes magyarázatot sokan megértenék, többen mint manapság.

Az indexált (hajló, görbült) egyenes és sík fogalmára azonban szüksége volt a hajózástól kezdve számos modern tevékenységnek. És megszületett az időközben megalkotott Descartes-i koordináta tengelyekkel párhuzamos, a tengelyekhez viszonyított, relatívan egyenes és sík képzete (aminek hétköznapi és igen pontos megfelelője az autósávokat elválasztó felfestés egyenessége – követve az útkanyarulatokban az út-tengelyt).

Ha a koordináta tengelyek torzultak az euklideszihez képest (mert összegyűrtük a papírlapot, mert luftballora rajzoltuk őket és felfújtuk a lufit), akkor hozzájuk idomult az egyenes, a sík és minden geometriai idom, amely belőlük építkezik.

Amit ezek után nem értek, az a részletkérdés, hogy miért fontosak a megtévesztő megfogalmazások, miért maradnak a forgalomban a felületes és nemzedékek matematikai ismereteit mérgező téves képzetek, téves szóhasználatok.

Miként „lehet” például egy egyenessel két párhuzamost húzni egy egyenesen kívül álló pontból. Az a sejtésem, hogy ez nem elvi kérdés vagy egyáltalán nem értem a „titkot”. Ugyanis a torzult koordináta tengelyek miatt torzult szögeket megértem. De a torzult térben részben „csak részben torzult” egyeneseket, amik a több párhuzamost teszik lehetővé egy ponton át - az kevésbé (szóval csak kapisgálom a kérdést).

Tehát ha jól értem a megértendő mai szóhasználat olyasmit mond, hogy:

… a felület sík voltát határozná meg egy olyan definíció, hogy a rá merőleges egyenesek nem találkoznak egymással. A görbült terekről ezt nem lehet elmondani, ott tehát olyan részben euklideszi egyenesek húzhatók egy konkáv oldalról a görbült felületen kívüli ponton át, amelyek száma nagyobb egynél, és nem metszik a görbült felületet sehol sem. …. (azt hiszem, aki azt mondja hogy az előbbi frázist, pont az nem érti, mondom laikusként e részlet kérdésben)

 

internetről találomra vett ábra[1]

Egy „teljesebb” ábra[2]

egy nagyobb pontosságra törekvő, más vetületet használó rajz

Külön kérdés, hogy az egy pontba torkolló párhuzamosok megint nem gyakorlati megfontolásból keletkezett képzetet képviselnek? Miért nem egymáshoz végtelenségig közelítő, de elvileg egymástól infinitezimális távolságra vannak? Mint a tengelyeket asszimtotikusan el nem érő, de végtelenségig megközelítő 1/x görbe.

Térjünk vissza az alapokhoz, a hasonlítotthoz,
a gondolatokat elindító euklideszi axiómákhoz

Lássuk a wikipédiából kimásolt két szócikket az Euklidesz és a Hilbert féle axiómákról (utóbbit valamilyen okból német nyelvből átültetve, érzésem szerint több helyen értelem zavaró rossz fordításban). Végkövetkeztetés az lehet, hogy a matematikai axiómák karban vannak tartva (lásd a Hilbert féle változatot – vélhetőleg azt, ami a rossz fordítás mögött lehet).

Más kérdés lehet majd, hogy mi a helyzet a politikával, joggal, gazdasággal, általában a társadalomról, emberről alkotott önképünkkel. Mivel egyértelműnek látszik, hogy a szigorúan rendezett fogalmakról a mérnöki munkában szervesülő matematikai deduktív és fizikai induktív gondolkodásra jó példát lehet találni, ezért vessünk pillantást elsőnek a matematikai axiómákra.


EUKLIDESZI axiómák[3] - wikipédiából

Az euklideszi axiómákat[1] és posztulátumokat Eukleidész ókori matematikus fogalmazta meg Elemek című művében.

Tartalomjegyzék

Axiómák[4] vagy „közismert fogalmak”

--<<az ember nem is gondolná, hogy ezeket az itt következő gondolati alapokat meg kellett nevezni, hogy ezek nem voltak evidenciák – mert talán nem ismerjük a hajdani, a megelőző vitákat. Kivéve a 9-eset, mert az érezhetően kilóg a sorból, hiszen nem már szűkebb területen, a geometrián belüli megállapítás a tárgya. A többi mennyiségekkel foglalkozik és hasonlóságokkal, amik a matematikán kívül is megfogalmazódhattak volna. - >>--

  1. Ugyanazon dologgal egyenlő dolgok egymással is egyenlők.
  2. Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, akkor egyenlőket kapunk.
  3. Ha egyenlőkből egyenlőket vonunk ki, akkor a maradékok is egyenlők.
  4. Ha nem egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, akkor nem egyenlőket kapunk.
  5. Ugyanazon dolog kétszeresei egyenlők egymással.
  6. Ugyanazon dolog felerészei egyenlők egymással.
  7. Egymásra illeszthető dolgok egymással egyenlők.
  8. Az egész nagyobb, mint a része.
  9. Két egyenes nem fog közre területet.

Posztulátumok vagy „követelmények"

Követeljük meg--<<kitől-mitől kell követelni? A geometriai tételt felállító személytől vagy a tételtől? Ez tehát nem evidencia, illetve sok más posztulátum is felmerülhet, ezekről meg nem jelenti ki, hogy rendszerben értendők. A Hilbert féle sokkal közelebb esik az általunk tanult szóhasználathoz. - >>-- hogy:

  1. bármely pontból bármely pontba lehessen egyenes vonalat húzni.
  2. véges egyenes vonalat folytonosan egyenes vonallá lehessen hosszabbítani.
  3. bármely középponttal és sugárral kört lehessen rajzolni.
  4. bármely két derékszög egyenlő legyen egymással.
  5. ha egy egyenes úgy metsz két másikat, hogy az egyoldalon fekvő belső szögek összege két derékszögnél kisebb, akkor a két másik egyenes találkozzon egymással, ha végtelenül meghosszabbítjuk őket --<<egy egyenest meg kell/lehet hosszabbítani? - >>-- , éspedig azon az oldalon, ahol a szögek összege kisebb két derékszögnél.

Megjegyzések

Jegyzetek

  1. A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi axiómák, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).

Források


HILBERT-féle axiómarendszer[5] - wikipédia szócikk

A Hilbert-féle axiómarendszer egy 20 (eredetileg 21) axiómából álló axiómarendszer, amit David Hilbert német matematikus javasolt 1899-ben az euklidészi geometria axiomatizálására. A Hilbert-féle axiómarendszeren kívül később további axiómarendszereket is kidolgoztak az euklidészi geometria axiomatizálására, például Tarski és Birkhoff.

Tartalomjegyzék

Az axiómák

A Hilbert-féle axiómarendszer alapfogalmai a következők:

Ezek között a fogalmak között a következő relációkat definiáljuk:

Vegyük észre, hogy a szakaszokat, szögeket, háromszögeket pontok és egyenesek, illetve az

·         illeszkedés és

·         két pont között lenni

relációk használatával definiálhatóak.

Az axiómarendszer axiómáit 5 csoportba szokás sorolni. Ezek a következők:

Az illeszkedés axiómái

A rendezés axiómái

Az egybevágóság axiómái

A folytonosság axiómái

A párhuzamosság axiómája

--<<ha jó ez a megfogalmazás, akkor itt semmiféle szembenállásról nincsen szó az euklideszi geometriával. Eszerint a megfogalmazás szerint ugyanis Bolyaiék a korabeli számítási igények kedvéért (hajózási navigáció, katonai röppálya számítások, gépek működési, alkatrészi számítások) eltekintettek az euklideszi sík fogalmától ebben az axiómában. [6] - >>--

Jegyzetek

A folytonossági axiómákat egyetlen – a Dedekind-féle – axiómával kicserélhetjük:

·         Ha egy egyenes pontjait úgy soroljuk be két osztályba, hogy egyik osztály se legyen üres, továbbá egyik osztálynak se legyen a másik osztályba tartozó két pont közötti pontja, akkor van olyan pont, mely bármely két tőle különböző és más – más osztályba tartozó pont között helyezkedik el. --<<Nem egészen értem, hiszen paradoxon, hogy egy végtelen sok pontból álló egyenes pontjait úgy lehetne két osztályba (két részhalmazba) sorolni, hogy egyik se legyen üres és egyik se lehessen a másik osztályba tartozó két pont közötti pontja. ez ugyanis két fél egyenes, egyiknek nyílt, másiknak zárt végű intervallumkénti találkozásával. - >>--

  1. „Wenn A, B, C Punkte einer Geraden sind, und B zwischen A und C liegt, so liegt B auch zwischen C und A.”
  2. „Wenn A und C zwei Punkte einer Geraden sind, so gibt es stets wenigstens einen Punkt B, der zwischen A und C liegt, und wenigstens einen Punkt D, so daß C zwischen A und D liegt.”
  3. „Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets einen und nur einen, der zwischen den beiden andern liegt.”
  4. „Es seien A, B, C drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte und a eine Gerade in der Ebene ABC, die keinen der Punkte A, B, C trifft: wenn dann die Gerade a durch einen Punkt der Strecke AB geht, so geht sie gewiß auch entweder durch einen Punkt der Strecke BC oder durch einen Punkt der Strecke AC.”

Hivatkozások

Külső hivatkozások



 

[1] http://www.komal.hu/cikkek/2005-01/escher.h.shtml

[2] http://books.google.hu/books?id=fglRyiMiOf0C&pg=PA17&lpg=PA17&dq=poincare+modellje&source=bl&ots=lhhiirU_Hu&sig=KT3Iqq3FxQwNPXabOZSxrXjyjII&hl=hu&sa=X&ei=8JsDUvXTKsrOsgaHhoCoCg&ved=0CFYQ6AEwBw#v=onepage&q=poincare%20modellje&f=false

[3] A wikipédiából, ha ez megfelelő forrás ez esetben.

[5] Wikipédiából, igen felületes fogalmazásban, rossz fordítással

[6] Ez a más helyről is olvasható, elterjedten megtévesztő fogalmazás a sík fogalmát használó illetve a sík fogalmától eltekintő definíciókkal, illetve ez a feleslegesen talányos tálalás ahhoz a cirkuszhoz hasonlítható, ami a fizikai relativitás tételekhez kapcsolódik száz éve – tehát csak tudatos dezinformáció lehet? Holott arról lehetett szó, hogy már igen régen szorított a cipő, hogy nem tudják olyan jól számítani például a gömb felszínét, maint amire az egyre terjedő hajózásnak volt szüksége. Hogy Bólyai mit gondolt, az külön kérdés, de gondolom az igazi probléma akkor már régen az volt, hogy miként korrigálják az euklideszi geometriát ahhoz, hogy a gömb felületi számításokat jobban tudják elvégezni. Érdekes volna ennek az ellenőrzése, és valószínüleg ennek az igénynek az ismeretében gratulált a maga módján a matematika fejedelme Bolyai Jánosnak a maga furcsának tűnő módján (ha a mi zseniális új felismerési lázunkhoz keressük a méltó elismerést. Bolyai és bárki érdemét nem kell kicsinyíteni, attól nem leszünk jobbak. Viszont a jövőbe tekintve akkor tudjuk ellátni feladatainkat, ha látjuk az összefüggéseket a tényleges teljesítmények esetében. Nekem például a síkgeometriai axiómák későbbi letisztázása fontosabbnak tűnik majdnem, továbbá igen fontosnak a koordináta geometriai megfelelés (geometria megfejelése a koordináta geomemetriai jelölésekkel). - FÁ

 

 Vissza az oldal tetejére